BV functions and parabolic initial boundary value problems on domains

Given a uniformly elliptic second order operator A on a possibly unbounded domain Ω ⊂ ℝN, let (T(t))t≥0be the semigroup generated by A in L1(Ω), under homogeneous co-normal boundary conditions on ∂Ω. We show that the limit as t → 0 of the L1-norm of the spatial gradient DxT(t)u0tends to the total variation of the initial datum u0, and in particular is finite if and only if u0belongs to BV(Ω). This result is true also for weighted BV spaces. A further characterization of BV functions in terms of the short-time behaviour of (T(t))t≥0is also given.

Il presente lavoro studia il comportamento per tempi piccoli del semigruppo associato ad un operatore ellittico del secondo ordine con coefficienti abbastanza regolari su domini, possibilmente illimitati, regolari. In particolare, considerato il semigruppo associato al problema di co-normale per un operatore ellittico del secondo ordine, viene studiato il comportamento per tempi piccoli del gradiente della soluzione con un certo dato, dimostrando la convergenza alla variazione totale di tale dato, anche in spazi di funzioni con peso continuo. Viene inoltre studiato il comportamento, sempre per tempi piccoli, del semigruppo in un caso di tipo diffusivo, estendendo a semigruppi piu' generici alcuni precedenti lavori di alcuni degli autori. La tecnica utilizzata e' essenzialmente quella degli spazi di interpolazione e della generazione di semigruppi analitici.