Questa tesi analizza una classe di operatori di Schrödinger con potenziali di confinamento scalari a crescita quadratica. Lo studio è incentrato sulle proprietà spettrali di tali operatori e su come la geometria del potenziale scalare influenzi il comportamento delle autofunzioni. Nel caso puramente elettrico, si dimostra che lo spettro dell’operatore è discreto grazie all’immersione compatta dello spazio di Hilbert pertinente. Vengono inoltre stabiliti limiti inferiori espliciti per l’energia dello stato fondamentale, stime di stabilità spettrale e stime di decadimento a priori della norma uniforme delle autofunzioni all’infinito. Inoltre, si ottengono risultati di convergenza che mostrano come lo spettro e gli autospazi si avvicinino a quelli dell’oscillatore armonico quantistico classico. L’analisi viene poi estesa alla presenza di un campo magnetico, sotto opportune ipotesi di regolarità e crescita sul potenziale vettore. Tali ipotesi sono sufficientemente generali da includere il caso di un campo magnetico uniforme non banale. L’impiego di disuguaglianze di tipo Kato e di argomenti perturbativi consente di estendere al contesto magnetico i principali risultati spettrali e di regolarità ottenuti nel caso elettrico.
This thesis investigates a class of Schrödinger operators with scalar confinement potentials of quadratic growth. The study focuses on the spectral properties of these operators and on how the geometry of the scalar potential affects the behavior of eigenfunctions. In the purely electric case, it is shown that the operator’s spectrum is discrete due to the compact embedding of the relevant Hilbert space. Explicit lower bounds for the ground-state energy, spectral stability estimates, and a priori uniform-norm decay estimates for the eigenfunctions at infinity are established. Moreover, convergence results are provided, showing that both the spectrum and eigenspaces approach those of the classical quantum harmonic oscillator. The analysis is then extended to include the presence of a magnetic field, under suitable regularity and growth assumptions on the vector potential. These assumptions are general enough to cover the case of a non-trivial uniform magnetic field. The use of Kato-type inequalities and perturbative arguments allows the main spectral and regularity results of the electric case to be extended to the magnetic framework.
Spectral Analysis of Schroedinger Operators with Quadratic Confinement Potentials in Electric and Magnetic Fields
ALESSI, CHIARA
2026
Abstract
Questa tesi analizza una classe di operatori di Schrödinger con potenziali di confinamento scalari a crescita quadratica. Lo studio è incentrato sulle proprietà spettrali di tali operatori e su come la geometria del potenziale scalare influenzi il comportamento delle autofunzioni. Nel caso puramente elettrico, si dimostra che lo spettro dell’operatore è discreto grazie all’immersione compatta dello spazio di Hilbert pertinente. Vengono inoltre stabiliti limiti inferiori espliciti per l’energia dello stato fondamentale, stime di stabilità spettrale e stime di decadimento a priori della norma uniforme delle autofunzioni all’infinito. Inoltre, si ottengono risultati di convergenza che mostrano come lo spettro e gli autospazi si avvicinino a quelli dell’oscillatore armonico quantistico classico. L’analisi viene poi estesa alla presenza di un campo magnetico, sotto opportune ipotesi di regolarità e crescita sul potenziale vettore. Tali ipotesi sono sufficientemente generali da includere il caso di un campo magnetico uniforme non banale. L’impiego di disuguaglianze di tipo Kato e di argomenti perturbativi consente di estendere al contesto magnetico i principali risultati spettrali e di regolarità ottenuti nel caso elettrico.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
