Hypoelliptic Partial Differential Equations: regularity theory and applications to degenerate McKean-Vlasov processes

In questa tesi studiamo alcune equazioni alle derivate parziali degeneri, caratterizzate da una proprietà di regolarizzazione ipoellittica che compensa l’assenza di uniforme ellitticità. La prima parte è dedicata alla teoria della regolarità per una classe di operatori subellittici su gruppi di Carnot. Inizialmente analizziamo alcune proprietà di regolarità di operatori stazionari con coefficienti Hölder continui. Adattiamo innanzitutto il metodo della paramatrice di Levi per stabilire l’esistenza di una soluzione fondamentale locale. Quindi, otteniamo nuovi risultati sul principio del massimo forte e sulla disuguaglianza di Harnack invariante, usando la tecnica della formula di media originariamente sviluppata per le funzioni armoniche. Successivamente, stabiliamo risultati analoghi per i corrispondenti operatori evolutivi. In questo contesto, per superare alcuni limiti della formula di media, utilizziamo il metodo di Kuptsov per ottenere un nucleo migliorato, e ne dimostriamo la limitatezza mediante la tecnica di lifting di Rothschild e Stein. Questi risultati si basano fortemente sulle proprietà della geometria sub-Riemanniana associata a tali operatori subellittici, ed in particolare sulla distanza di Carnot-Carathéodory da essi indotta. Nella seconda parte analizziamo alcuni processi stocastici di McKean-Vlasov studiandone la densità associata, che soddisfa un’equazione di Kolmogorov non lineare e degenere. In primo luogo studiamo il modello di Kuramoto di campo medio con inerzia e rumore, affrontando i corrispondenti problemi di Cauchy. Stabiliamo esistenza, unicità e alcune stime precise, e proponiamo uno schema alle differenze finite per calcolare numericamente la densità. Successivamente studiamo un problema di controllo ottimo di tipo McKean-Vlasov. Mostriamo dapprima che il problema di campo medio fornisce una buona approssimazione del problema di controllo ottimo a dimensione finita, dimostrando la Γ-convergenza dei corrispondenti funzionali di costo. Applichiamo quindi il formalismo Lagrangiano per derivare le condizioni di ottimalità del primo ordine per gli ottimizzatori. Infine, tali condizioni di ottimalità vengono implementate in un algoritmo di discesa del gradiente.

In this thesis we study some degenerate PDEs, characterized by an underlying hypoelliptic regularizing property compensating for the absence of uniform ellipticity. The first part is concerned with regularity theory for a class of subelliptic operators on Carnot groups. We begin by investigating some regularity properties of stationary operators with Hölder continuous coefficients. We first adapt Levi’s parametrix method to establish the existence of a local fundamental solution. Building on this, we provide novel results on the strong maximum principle and the invariant Harnack inequality, employing the mean value formula technique originally developed for harmonic functions. Subsequently we establish analogous results for the evolutive counterpart. In this setting, to overcome certain drawbacks of the mean value formula, we employ Kuptsov method to obtain an improved kernel, and we prove its boundedness by using Rothschild and Stein lifting technique. These results heavily rely on the properties of the sub-Riemannian geometry relevant to these subelliptic operators, and in particular on the Carnot-Carathéodory distance they induce. In the second part we analyse some McKean-Vlasov stochastic processes by studying the associated density, which satisfies a nonlinear, degenerate Kolmogorov equation. First we study the mean field Kuramoto model with inertia and noise, addressing the corresponding Cauchy problems. We establish existence, uniqueness and some precise bounds, and we propose a finite difference scheme to numerically compute the density. Subsequently we study a McKean-Vlasov optimal control problem. We first show that the mean field problem provides a suitable approximation of the finite size control problem, by proving the Γ-convergence of the corresponding cost functionals. We then employ the Lagrangian formalism to derive first order optimality conditions for the optimizers. Finally, these optimality conditions are implemented in a gradient descent algorithm.