Burnside and Mackey Theories for Abstract Groupoids

L'obiettivo di questa tesi è lo studio delle teorie di Mackey e Burnside per i gruppoidi astratti, che sono generalizzazioni naturali dei gruppi. Infatti, un gruppoide può essere pensato come un gruppo con molti oggetti. Nel Capitolo 1 verranno innanzitutto illustrate le proprietà basilari dei gruppoidi; successivamente, verranno provate alcune proprietà delle due strutture monoidali sulla categoria dei groupoid-set (generalizzazioni dei group-set). Per la precisione, la struttura data dal coprodotto, cioè l'unione disgiunta, e la struttura data dal prodotto fibrato sull'insieme degli oggetti del gruppoide, considerato in modo canonico come un groupoid-set. Nel Capitolo 2 verrà sviluppata una teoria delle coniugazioni per i sottogruppoidi, mostrando le profonde differenze con il caso dei gruppi. Inoltre, questa teoria verrà utilizzata per provare una versione del teorema di Burnside per i gruppoidi, con le appropriate ipotesi di finitezza. Nel Capitolo 3 verrà provata una versione della famosa formula di Mackey per i group-biset nel caso dei groupoid-biset, mostrando la sua efficacia con uno specifico esempio. Nel Capitolo 4 verrà discussa l'equivalenza di due gruppoidi come categorie e cosa questo implichi per le categorie di groupoid-biset coinvolte. Nel Capitolo 5, seguendo la teoria classica, verrà sviluppata una teoria di Burnside per i gruppoidi, mostrando come l'anello di Burnside di un gruppoide sia isomorfo al prodotto diretto degli anelli di Burnside dei suoi gruppi di isotropia, uno per ogni componente connessa. Tutto ciò dimostra chiaramente come i metodi classici conducano allo studio solamente di una parte del poset dei sottogruppoidi, dato che i sottogruppoidi con più di un oggetto non compaiono. Nel Capitolo 6 verrà sviluppata una categorificazione della classica nozione di groupoid-set, sostituendolo con una categoria interna alla categoria dei groupoid-set, chiamata un groupoid-set categorificato. Successivamente, questa nozione verrà utilizzata per costruire una nuova teoria di Burnside per i gruppoidi e, infine, verrà dimostrato come, anche in questo caso, l'anello di Burnside categorificato di un gruppoide sia isomorfo al prodotto diretto degli anelli di Burnside categorificati dei suoi gruppi di isotropia, uno per ogni componente connessa. Tutto ciò dimostra come lo studio dei gruppoidi necessiti di tecniche e strumenti più sofisticati di quelli tradizionali. Nelle appendici verrà spiegato come passare da un rig (chiamato anche semianello), cioè un anello privo degli inversi additivi, a un anello, usando una costruzione chiamata funtore di Grothendieck. Questa nozione è cruciale per entrambe le teorie di Burnside sviluppate in questa tesi. Inoltre, nell'ultima appendice verranno riunite alcune definizioni sulle categorie monoidali, per fissare la terminologia utilizzata, e verrà provato un risultato conosciuto del quale, però, non si riesce a trovare altrove la dimostrazione.

The objective of this thesis is the study of Burnside and Mackey theories for abstract groupoids, which are natural generalizations of groups. In fact, a groupoid can be thought as a group with many objects. In Chapter 1 we will start explaining the basic properties of groupoids and after that, we will prove some properties of the two monoidal structures on the category of groupoid-sets (generalizations of group-sets). Namely, the structure given by the coproduct, that is, the disjoint union, and the other one given by the fibre product over the set of objects of the groupoid, considered canonically as a groupoid-set. In Chapter 2 we will develop a theory of conjugations for subgroupoids, showing the deep differences with the group case. Moreover, we will use this theory to prove a version of the Burnside Theorem for groupoids, with the appropriate finiteness hypotheses. In Chapter 3 we will prove a version of the famous Mackey formula for group-bisets in the case of groupoid-bisets, showing its efficacy with a specific example. In Chapter 4 we will discuss the equivalence of two groupoids as categories and what this implies for the groupoid-biset categories involved. In Chapter 5, following the classical path, we will develop a Burnside theory for groupoids, showing that the Burnside ring of a groupoid is isomorphic to the direct product of the Burnside rings of its isotropy group types. This puts in evidence that the classical methods only lead to the study of a part of the poset of subgroupoids, as the subgroupoids with several objects don't show up. In Chapter 6 we will develop a categorification of the classical notion of groupoid-set, replacing it with an internal category in the category of groupoid-sets, called a categorified groupoid-set. Subsequently, we will use this notion to construct a new Burnside theory for groupoids and we will finish showing that, even in this case, the categorified Burnside ring of a groupoid is isomorphic to the direct product of the categorified Burnside rings of its isotropy group types. This makes manifest that the study of groupoids needs more sophisticated tools and techniques than the traditional ones. In the appendixes we will explain how to pass from a rig (also called semiring), that is, a ring without additive inverses, to a ring, using a construction called Grothendieck functor. This notion is crucial to both the Burnside theories we developed. Moreover, in the last appendix we will collect some definitions about monoidal categories, to fix the employed terminology, and we will prove a known result on monoidal functors whose whole proof we have been unable to find elsewhere.