On Quandle Extensions

Quandles are non associative and self-distributive algebraic structures which arise very naturally in a lot of different areas of mathemathics. The most important probably are knot theory and the study of the solution of the (set-theoretical) Quantum Yang Baxter Equation which is related to the classification of pointed Hopf Algebras. They also provide a good example of idempotent variety in universal algebra. The thesis is about extension theory of quandles, i.e., the description of the properties of a quandle starting from the properties of its congruences and the properties of its homomorphic images. We use both universal algebraic and categorical technique. In the first Sections, we have summarized some known results on quandles and we have extended some constructions to Left-quasigroups. In the following, first we analize some classes defined by existence of specific term operations (as Latin quandles, Maltsev quandles and Taylor quandles), then classes defined by existence of specific representations (as homogeneous, connected, principal and affine quandles) and their mutual relations. We also investigate the relation between the congruence lattice of a quandle and lattice of normal subgroups of its transvection group. This relation in tight by virtue of the self-distributivity property of quandles. We show that there exists a Galois connection between these two lattices. Universal algebraic properties of congruences as Abelianness, centrality and strongly Abelianness have a group-theoretical counterpart. The same is true for other universal algebraic notions as solvability and nilpotency (in particular for Taylor quandles). A combinatorial description of the structure of extensions of a given quandle, through (non-Abelian) Cohomology is presented. In particular we focus on the special family of coverings of a given quandle, with turns out to correspond to strongly Abelian congruences. We also define Abelian extensions which correspond to Abelian congruences with connected blocks. We also compute explicitly cohomology for some classes of Latin quandles, by using the properties of normalized cocycles. We show that connected affine quandles over cyclic group and doubly transitive quandles have trivial cohomology. Finally we present a categorical approach to coverings due to Eisermann, by using the Adjoint group of a quandle and the connection between coverings and central extensions of groups. The class of simply connected quandles, namely the class of connected quandles with no proper coverings, have been characterized.

I Quandle sono strutture algebriche non associative e auto-distributive che emergono in maniera naturale in diverse aree della matematica. Le più importanti sono probabilmente la teoria dei nodi e lo studio delle soluzioni della (set-theoretical) Quantum Yang Baxter Equation, in relazione alla classificazione delle pointed Hopf Algebras. La varietà dei quandle rappresenta anche un ottimo esempio di varietà idempotente nel contesto dell’algebra universale. L’argomento della tesi é la teoria delle estensioni di quandle, ossia la descrizione delle proprietà di un quandle a partire dalle proprietà delle sue congruenze e dei suo quozienti. Nella tesi sono usate sia tecniche di algebra universale che di teoria delle categorie. Nei primi capitoli vengono presentati alcuni risultati noti sui quandle, e in alcuni casi questi vengono estesi anche ai Left-quasigroup. Nei capitoli successivi, prima vengono analizzate alcune classi definite tramite l’esistenza di specifiche operazioni (come la classe dei quandle Latini, Maltsev e Taylor), in seguito classi definite tramite l’esistenza di specifiche rappresentazioni (come i quandle omogenei, connessi, principali e affini) e infine le loro reciproche interazioni. Inoltre abbiamo approfondito la relazione tra il reticolo delle congruenze di un quandle e quello dei sottogruppi normali del suo gruppo delle trasvezioni. Il loro rapporto é molto stretto in virtù dell’autodistributività dei quandle. Infatti tra i due reticoli esiste una corrispondenza di Galois. Alcune proprietà delle congruenze, quali Abelianess, centrality e strongly Abelianness hanno una descrizione in termini di teoria dei gruppi. Lo stesso si può dire per altre proprietá come risolubilitá e nilpotenza (dal punto di vista dell’algebra universale). In particolare quest’ultima corrispondenza é più marcata per i quandle di tipo Taylor. La struttura delle estensioni di un quandle ha una descrizione combinatorica per mezzo della (non-Abelian) Cohomology. Alcune famiglie di estensioni vengono prese in esame più in dettaglio. I covering, i quali corrispondono alle congruenze di tipo strongly Abelian, e le estensioni Abeliane che invece corrispondono alle congruenze di tipo Abelian i cui blocchi sono connessi. Abbiamo definito una particolare famiglia di cocicli, detti normalizzati, i quali hanno reso possibile il calcolo esplicito della cohomologia per alcune classi di quandle Latini. Ad esempio i quandle connessi che ammettono una rappresentazione affine su gruppi ciclici e i quandle 2-transitivi hanno cohomologia banale. Infine, abbiamo presentato un approccio di tipo categoriale ai covering. Questo approccio, dovuto ad Eisermann, si basa sulle proprietà dell’Adjoint group di un quandle. Una certa rilevanza ha il rapporto tra covering e estensioni centrali di gruppi. Il capitolo si chiude con la descrizione della classe dei quandle semplicemente connessi, cioè i quandle che non ammettono covering connessi non banali.