Approssimabilità degli aperti di Rn di perimetro finito

Si provano, utilizzando certe misure di ricoprimento, risultati di approssimazione in perimetro e in misura per gli aperti limitati di perimetro finito, il cui perimetro coincide con la misura di Hausdorff (n−1)-dimensionale della frontiera. Risultati sull'approssimabilità degli insiemi di perimetro finito con insiemi di frontiera regolare (poliedri), sono alla base della teoria di quegli insiemi, così come è stata sviluppata agli inizi degli anni '50 negli scritti di Caccioppoli e De Giorgi. Tuttavia non è sempre possibile richiedere, per un insieme di perimetro finito, l'approssimabilità in perimetro e in misura "dall'interno e dall'esterno"; questa approssimabilità è sempre possibile se l'insieme è un aperto limitato di Rn (n≥2) (Massari - Pepe 1974) con frontiera localmente lipschitziana. L'ipotesi di lipschitzianità è soddisfacente per alcuni problemi ai limiti o di capillarità; lo è meno dal punto di vista della teoria geometrica della misura. In questo lavoro, modificando le precedenti tecniche e attraverso l'uso di nuove misure di ricoprimento, si riesce ad estendere il risultato a tutti gli aperti limitati di perimetro finito il cui perimetro coincide con la misura di Haudorff (n-1)-dimensionale della frontiera. Come si rileva dagli esempi riportati, questa estensione risulta essere, nell'ordine di idee in cui si siamo posti, la migliore possibile.