La definizione di algebra quasi-Hopf, introdotta da Drinfeld nel 1990, è ottenuta rilassando la coassociatività nella definizione di algebra di Hopf. La loro importanza risiede nel loro legame con le categorie monoidali; sono infatti rilevanti ogni volta che è necessario considerare una categoria "non-strict", ossia quando l'associatività del prodotto tensoriale è determinata da un isomorfismo non triviale. Ispirati dal lavoro di Radford, per un'algebra quasi-Hopf H arbitraria, descriviamo tutte le algebre di Hopf di dimensione 2 nella categoria di moduli Yetter-Drinfeld sinistri su H, e determiniamo le algebre biprodotto quasi-Hopf ad esse associate unicamente. Otteniamo diverse classi di questi biprodotti prendendo per H l'algebra di Hopf delle funzioni su un gruppo G, dotata della struttura di algebra quasi-Hopf attraverso un 3-cociclo di G, o un'algebra quasi-Hopf con radicale di codimensione 2. Dedichiamo particolare attenzione ad analizzare il caso in cui G è un gruppo abeliano finito. Attraverso queste costruzioni, otteniamo nuovi esempi di algebre quasi-Hopf. Il risultato di classificazione precedentemente nominato viene utilizzato per completare la classificazione delle algebre quasi-Hopf in dimensione 6, dimostrando che tutte queste sono semisemplici. Come conseguenza secondaria, otteniamo esempi di quasi-bialgebre non-semisemplici, oltre alla lista completa delle algebre quasi-Hopf di dimensione 6, precedentemente classificate da Etingof e Gelaki in termini delle loro categorie di rappresentazione.
The definition of quasi-Hopf algebra, introduced by Drinfeld in 1990, is obtained by relaxing the coassociativity axiom in the definition of Hopf algebras. Their importance lies in their ties to monoidal categories; they are relevant whenever one needs to consider a non-strict category, meaning the associativity of the tensor product is controlled by a non-trivial isomorphism. Inspired by the work of Radford, for H an arbitrary quasi-Hopf algebra, we describe all the Hopf algebras of dimension 2 within the category of left Yetter-Drinfeld modules over H and determine the biproduct quasi-Hopf algebras uniquely associated to them. Classes of such biproduct quasi-Hopf algebras are obtained by taking H as the Hopf algebra of functions on a group G, endowed with the quasi-Hopf algebra structure provided by a non-trivial 3-cocycle on G, or as a quasi-Hopf algebra with radical of codimension two. Particular attention is dedicated to analyze the case in which G is a finite abelian group. In this way, we discover new classes of quasi-Hopf algebras. We apply the characterization result above to complete the classification of 6-dimensional quasi-Hopf algebras, by proving that any such algebra is semisimple. As byproducts, we provide examples of 6-dimensional quasi-bialgebras that are not semisimple as algebras, as well as the concrete quasi-Hopf structures of the 6-dimensional semisimple quasi-Hopf algebras previously classified by Etingof and Gelaki in terms of their category of representations.
On Biproduct Quasi-Hopf Algebras
MISURATI, MATTEO
2026
Abstract
La definizione di algebra quasi-Hopf, introdotta da Drinfeld nel 1990, è ottenuta rilassando la coassociatività nella definizione di algebra di Hopf. La loro importanza risiede nel loro legame con le categorie monoidali; sono infatti rilevanti ogni volta che è necessario considerare una categoria "non-strict", ossia quando l'associatività del prodotto tensoriale è determinata da un isomorfismo non triviale. Ispirati dal lavoro di Radford, per un'algebra quasi-Hopf H arbitraria, descriviamo tutte le algebre di Hopf di dimensione 2 nella categoria di moduli Yetter-Drinfeld sinistri su H, e determiniamo le algebre biprodotto quasi-Hopf ad esse associate unicamente. Otteniamo diverse classi di questi biprodotti prendendo per H l'algebra di Hopf delle funzioni su un gruppo G, dotata della struttura di algebra quasi-Hopf attraverso un 3-cociclo di G, o un'algebra quasi-Hopf con radicale di codimensione 2. Dedichiamo particolare attenzione ad analizzare il caso in cui G è un gruppo abeliano finito. Attraverso queste costruzioni, otteniamo nuovi esempi di algebre quasi-Hopf. Il risultato di classificazione precedentemente nominato viene utilizzato per completare la classificazione delle algebre quasi-Hopf in dimensione 6, dimostrando che tutte queste sono semisemplici. Come conseguenza secondaria, otteniamo esempi di quasi-bialgebre non-semisemplici, oltre alla lista completa delle algebre quasi-Hopf di dimensione 6, precedentemente classificate da Etingof e Gelaki in termini delle loro categorie di rappresentazione.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
