Questa tesi, nel contesto della teoria cinetica per miscele di gas, sviluppa un modello generale che integra le descrizioni degli operatori di collisione di Boltzmann e BGK in un unico modello, con l’obiettivo di combinare l’accuratezza dell’integrale di Boltzmann con la maggiore maneggevolezza analitica e computazionale dell’operatore BGK. Il modello proposto consente quindi di descrivere ogni interazione binaria tramite uno dei due operatori. Dopo aver dimostrato le principali proprietà di consistenza— le corrette leggi di conservazione, l’unicità degli equilibri collisionali e il teorema H—viene introdotta un’opportuna adimensionalizzazione del modello, che permette l’analisi di diversi regimi idrodinamici. Nel regime dominato dalle collisioni, in cui ogni interazione è ugualmente dominate, applichiamo l’espansione di Chapman–Enskog in termini di un opportuno numero di Knudsen e deriviamo le equazioni di Eulero e di Navier–Stokes in tale limite idrodinamico. Per ottenere una chiusura delle equazioni di Navier–Stokes, si ricavano le correzioni del primo ordine delle velocità di ogni specie; tuttavia, la complessità analitica dell’operatore linearizzato di Boltzmann impedisce di trovare una forma chiusa delle correzioni al primo ordine del tensore pressione e del vettore flusso di calore. Ciononostante, i calcoli richiedono la risoluzione di sistemi lineari che ammettono un’unica soluzione, garantendo così una chiusura costruttiva delle equazioni di Navier–Stokes. Poiché nelle miscele reali le specie coinvolte sono poche, la matrice dei coefficienti può essere invertita agevolmente con metodi numerici standard. Analizziamo poi miscele binarie in cui le collisioni intra-specie sono descritte mediante integrali di tipo Boltzmann, mentre quelle inter-specie tramite operatori BGK, focalizzandoci su due regimi idrodinamici di particolare interesse. Nel primo, le interazioni intra-specie svolgono entrambe un ruolo dominante, permettendo di ottenere le equazioni di Navier–Stokes per i campi macroscopici di ciascuna specie, con termini sorgente, rappresentativi della dinamica collisionale inter-specie più lenta. Nel secondo regime, il ruolo dominante è svolto dalle collisioni intra-specie della sola specie più pesante, il che permette di derivare equazioni di tipo Navier–Stokes per tale specie, mentre la specie più leggera mantiene una descrizione cinetica. Infine, dimostriamo la convergenza esponenziale delle funzioni di distribuzione alle maxwelliane, con una dipendenza esplicita dei tassi di convergenza dalle frequenze di collisione e dai parametri macroscopici della miscela.
This thesis, in the frame of kinetic theory of gas mixtures, develops a general framework which integrates the Boltzmann and the BGK descriptions of the collision operators within one model, with the aim of combining the accuracy of the Boltzmann integral with the greater analytical and computational tractability of the BGK operator. Hence, the proposed model allows for each binary interaction to be described by either operators. After having proved the consistency properties, namely the correct conservation laws, uniqueness of equilibrium distribution and H-theorem, the dimensionless form of the model is introduced, enabling the analysis of different hydrodynamic regimes. In the classical collision dominated regime, in which all collisions are equally dominant in the evolution, we consider a Chapman-Enskog expansion in terms of a suitable Knudsen number and derive Euler and Navier-Stokes equations in the hydrodynamic limit. In order to provide a closure for the Navier-Stokes equations, we derive explicit first-order corrections for the species velocities, while the complexity of the Boltzmann linearized operator prevents a closed-form computation of the first order corrections of the pressure tensor and heat flux. Nevertheless, the computations involve linear systems which admit unique solutions, ensuring a constructive closure of the Navier–Stokes equations. Since in real mixtures the number of species is typically small, the coefficient matrix can easily be inverted using standard numerical tools. We then analyze binary mixtures in which intra-species collisions are described by Boltzmann operators and inter-species ones by BGK terms, focusing on two relevant hydrodynamic regimes. In the first one, both intra-species interactions play a dominant role, allowing to obtain the Navier-Stokes equations for macroscopic fields of both species, with source terms on the right-hand side, representative of the slow collisional dynamics. In the second one, the dominant role is played by the intra-species interactions of the heavier species only, allowing for fluid equations of Navier-Stokes type for such species, while the lightest one retains a kinetic description. Finally, exponential convergence of the species distribution functions towards the species Maxwellian distribution is proved, with explicit dependence of the convergence rate on the collision frequencies and mixture parameters.
A general Boltzmann-BGK model for gas mixtures: hydrodynamic limits and convergence results
LUCCHIN, ENRICO
2026
Abstract
Questa tesi, nel contesto della teoria cinetica per miscele di gas, sviluppa un modello generale che integra le descrizioni degli operatori di collisione di Boltzmann e BGK in un unico modello, con l’obiettivo di combinare l’accuratezza dell’integrale di Boltzmann con la maggiore maneggevolezza analitica e computazionale dell’operatore BGK. Il modello proposto consente quindi di descrivere ogni interazione binaria tramite uno dei due operatori. Dopo aver dimostrato le principali proprietà di consistenza— le corrette leggi di conservazione, l’unicità degli equilibri collisionali e il teorema H—viene introdotta un’opportuna adimensionalizzazione del modello, che permette l’analisi di diversi regimi idrodinamici. Nel regime dominato dalle collisioni, in cui ogni interazione è ugualmente dominate, applichiamo l’espansione di Chapman–Enskog in termini di un opportuno numero di Knudsen e deriviamo le equazioni di Eulero e di Navier–Stokes in tale limite idrodinamico. Per ottenere una chiusura delle equazioni di Navier–Stokes, si ricavano le correzioni del primo ordine delle velocità di ogni specie; tuttavia, la complessità analitica dell’operatore linearizzato di Boltzmann impedisce di trovare una forma chiusa delle correzioni al primo ordine del tensore pressione e del vettore flusso di calore. Ciononostante, i calcoli richiedono la risoluzione di sistemi lineari che ammettono un’unica soluzione, garantendo così una chiusura costruttiva delle equazioni di Navier–Stokes. Poiché nelle miscele reali le specie coinvolte sono poche, la matrice dei coefficienti può essere invertita agevolmente con metodi numerici standard. Analizziamo poi miscele binarie in cui le collisioni intra-specie sono descritte mediante integrali di tipo Boltzmann, mentre quelle inter-specie tramite operatori BGK, focalizzandoci su due regimi idrodinamici di particolare interesse. Nel primo, le interazioni intra-specie svolgono entrambe un ruolo dominante, permettendo di ottenere le equazioni di Navier–Stokes per i campi macroscopici di ciascuna specie, con termini sorgente, rappresentativi della dinamica collisionale inter-specie più lenta. Nel secondo regime, il ruolo dominante è svolto dalle collisioni intra-specie della sola specie più pesante, il che permette di derivare equazioni di tipo Navier–Stokes per tale specie, mentre la specie più leggera mantiene una descrizione cinetica. Infine, dimostriamo la convergenza esponenziale delle funzioni di distribuzione alle maxwelliane, con una dipendenza esplicita dei tassi di convergenza dalle frequenze di collisione e dai parametri macroscopici della miscela.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
