I componenti del presente gruppo si interessano a problemi legati allo sviluppo di elementi di calcolo delle variazioni in ambienti metrici, Euclidei e non, quali gli spazi metrici doubling, le varieta' sub-Riemanniane e gli spazi di Wiener astratti. In particolare, e' intenzione degli appartenenti al gruppo investigare le seguenti questioni. 1) In ambiente Euclideo, si intendono studiare disuguaglianze qualitative per il problema della doppia bolla, come affrontato da Maggi e Pratelli nel caso isoperimetrico classico. Inoltre, si intende stuadiare la stabilita' per funzionali di tipo perimetro con aggiunta di temini non locali e teoremi di riarrangiamento per problemi isoperimetrici con peso. Infine, in ambito Euclideo interessa lo studio di varifolds discreti e le proprieta' di funzionali di tipo Willmore. 2) In ambiente sub-Riemanniano si intende studiare la regolarita' delle geodetiche, uno dei principali problemi aperti in quest'area. In particolare, si vogliono provare teoremi di rimozione delle singolarita' per le geodetiche anormali. Poi si intende studiare la regolarita' delle superfici minime nel gruppo di Heisenberg con particolare attenzione al problema dell'approssimazione armonica. 3) In ambito metrico, e' stata dimostrata una diseguaglianza di Harnack per funzioni nella classe di De Giorgi parabolica in spazi metrici muniti di misura doubling. In tale classe rientra ogni ragionevole definizione di soluzione di equazione del calore in spazi metrici. Questo risultato e' la versione metrica di una parte di due lavori indipendenti di Saloff Coste e Grigoryan (vedere Sturm nel caso di spazi metrici con forma di Dirichlet), dove si mostra che la disuguaglianza di Harnack parabolica per soluzioni positive e' equivalente a doubling piu' Poincare'. 4) Evoluzione rate independent in spazi metrici Studio di operatori rate independent tra insiemi di curve in spazi metrici. Si vogliono analizzare le proprietà dei suddetti operatori su spazi di curve assolutamente continue e a variazione limitata, applicando questa analisi ad una classe di problemi d'evoluzione in meccanica il cui operatore soluzione e' rate independent nello spazio dei convessi chiusi di uno spazio di Hilbert 5) Recentemente sono state dimostrate proprieta' geometriche degl insiemi di perimetro finito in spazi di Wiener astratti, (rettificabilita' Sobolev e definizione di punti di densita' un mezzo, densita' definita tramite semigruppo). In un lavoro in via di stesura, E.Runa dimostra l'esistenza del blow-up in quasi ogni punto della frontiera di un insieme; tale risultato dovrebbe portare alla rettificabilita' Lipschitz degli insiemi di perimetro finito. Utilizzando tali risultati si intende studiare propreta' fini delle funzioni a variazione limitate, la definizione della traccia su ipersuperfici regolari e possibili definizioni di funzioni BV in domini, mediante eventualmente lo studio di problemi di tipo Neumann.
Problemi geometrici, variazionali ed evolutivi in strutture metriche
MIRANDA, Michele
2011
Abstract
I componenti del presente gruppo si interessano a problemi legati allo sviluppo di elementi di calcolo delle variazioni in ambienti metrici, Euclidei e non, quali gli spazi metrici doubling, le varieta' sub-Riemanniane e gli spazi di Wiener astratti. In particolare, e' intenzione degli appartenenti al gruppo investigare le seguenti questioni. 1) In ambiente Euclideo, si intendono studiare disuguaglianze qualitative per il problema della doppia bolla, come affrontato da Maggi e Pratelli nel caso isoperimetrico classico. Inoltre, si intende stuadiare la stabilita' per funzionali di tipo perimetro con aggiunta di temini non locali e teoremi di riarrangiamento per problemi isoperimetrici con peso. Infine, in ambito Euclideo interessa lo studio di varifolds discreti e le proprieta' di funzionali di tipo Willmore. 2) In ambiente sub-Riemanniano si intende studiare la regolarita' delle geodetiche, uno dei principali problemi aperti in quest'area. In particolare, si vogliono provare teoremi di rimozione delle singolarita' per le geodetiche anormali. Poi si intende studiare la regolarita' delle superfici minime nel gruppo di Heisenberg con particolare attenzione al problema dell'approssimazione armonica. 3) In ambito metrico, e' stata dimostrata una diseguaglianza di Harnack per funzioni nella classe di De Giorgi parabolica in spazi metrici muniti di misura doubling. In tale classe rientra ogni ragionevole definizione di soluzione di equazione del calore in spazi metrici. Questo risultato e' la versione metrica di una parte di due lavori indipendenti di Saloff Coste e Grigoryan (vedere Sturm nel caso di spazi metrici con forma di Dirichlet), dove si mostra che la disuguaglianza di Harnack parabolica per soluzioni positive e' equivalente a doubling piu' Poincare'. 4) Evoluzione rate independent in spazi metrici Studio di operatori rate independent tra insiemi di curve in spazi metrici. Si vogliono analizzare le proprietà dei suddetti operatori su spazi di curve assolutamente continue e a variazione limitata, applicando questa analisi ad una classe di problemi d'evoluzione in meccanica il cui operatore soluzione e' rate independent nello spazio dei convessi chiusi di uno spazio di Hilbert 5) Recentemente sono state dimostrate proprieta' geometriche degl insiemi di perimetro finito in spazi di Wiener astratti, (rettificabilita' Sobolev e definizione di punti di densita' un mezzo, densita' definita tramite semigruppo). In un lavoro in via di stesura, E.Runa dimostra l'esistenza del blow-up in quasi ogni punto della frontiera di un insieme; tale risultato dovrebbe portare alla rettificabilita' Lipschitz degli insiemi di perimetro finito. Utilizzando tali risultati si intende studiare propreta' fini delle funzioni a variazione limitate, la definizione della traccia su ipersuperfici regolari e possibili definizioni di funzioni BV in domini, mediante eventualmente lo studio di problemi di tipo Neumann.I documenti in SFERA sono protetti da copyright e tutti i diritti sono riservati, salvo diversa indicazione.
